【数学】最近いいな〜って思った問題

こんにちは。じーむです。

最近マジで鬱みたいな生活をしているので(？)、おもろいな〜って思った数学の問題を紹介しておきます。

問題

次の級数を求めなさい。
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^nn}$

解説

分母のnがなんかウザいですね。高校数学みたいに各項を書き出してうまいこといかないかなあと工夫しても式がメチャクチャになります。地球温暖化か？*1

やはり、分母のnを消すために
$\displaystyle f(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^nn} x^n$
とおき、微分してしまうのが良いでしょうね。賢者のテクニックです。

f(x)の収束半径は見ておきましょう。
$\displaystyle a_n = \frac{1}{2^nn}$
として
$\displaystyle \frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$
を計算するとR=2が求まります。

つまり、f(x)は収束半径が2のべき級数ということなので-2から2の間で項別微分ができて

$\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{2^n}= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty (\frac{x}{2})^{n-1}=\frac{1}{2-x}$

とf'(x)がわかります。これをxで積分することにより

$\displaystyle \int f'(x)dx=-log(2-x)+C$

です。もちろん、Cは積分定数ですよ。

f(x)の式よりf(0)=0ですからC=log2です。

したがって

$f(x)=-log(2-x)+log2$

YOSHIKIはf(1)ですからこれにx=1を代入して求める答えはlog2となります。

面白いですね。途中で上手い感じで関数をかませて、導関数から設定した関数を復元する感じがオシャレだと思います。

多分ですけど
$\displaystyle log(1+x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$
にx=-1/2を代入して作ったんだと思われます。作り方の逆を進むのは流石に無理でしょうね。作り方と解き方が違ったりするのも問題作りの面白いところです。